Un petit modèle sympa
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Triangles en pagailleUn peu de mathématique amusante. Connaissez-vous le triangle de Sierpiński ? Supposons que l'on dispose d'un triangle équilatéral dont l'aire est d'un mètre carré (1m2). On va enlever de sa surface, le triangle tracé à partir du milieu de ses côtés. Il ne reste donc plus que trois triangles. On recommence ensuite l'opération sur chacun des trois triangles. Et on recommence à nouveau avec les triangles restant de l'opération précédente. Et ainsi de suite.  Triangle de SierpińskiPosons-nous des questions à son propos. Si, comme nous l'avons dit, son aire est de 1m2, comment évolue-t-elle à chaque opération ? Pouvez-vous la déterminer au bout de deux opérations ? Comment évolue le nombre de petits triangles ? Pouvez-vous le déterminer au bout de cinq opérations ? À chaque étape, on enlève l'équivalent d'un quart de la surface. Après la première opération, l'aire sera de 3/4m2 soit 0,75m2, à la deuxième, de 0,75 x 0,75m2, soit 0,5625m2. Le nombre de triangles est multiplié par trois à chaque opération. Après cinq opérations, il sera de 3 x 3 x 3 x 3 x 3 soit 243. Nous vous proposons, en guise d'exercice, de réaliser un modèle dans une feuille de calcul qui vous permette d'obtenir rapidement les réponses à toutes ces questions. Une autre question encore : après combien d'étapes l'aire restante sera-t-elle inférieure à 10% de l'aire initiale ?  Si on souhaite les résultats en trois colonnes (cf. illustration ci-contre), quelles sont les formules à écrire et dans quelles cellules ? Dans quelles zones faut-il les recopier ? L'opérateur de multiplication est le symbole astérisque (*). La valeur 1 est écrite en B2. La formule =B2*0,75 est écrite en B3 puis recopiée jusqu'en B… La valeur 1 est écrite en C2. La formule =C2*3 est écrite en C3 puis recopiée jusqu'en C… Pour les numéros d'étape, il n'est pas nécessaire d'écrire soi-même les nombres de 0 à … On peut aussi écrire la valeur 0 en A2, la formule =A2+1 en A3 et la recopier jusqu'en A… Il existe un autre moyen de faire générer la suite des nombres par le système. Le connaissez-vous ?  Génération d'unesérie de nombres On place la valeur 0 en A2, la valeur 1 en A3. On sélectionne le bloc A2:A3, puis on l'étire (le recopie) vers le bas. Le système pourra générer les valeurs suivantes. Pour ce faire, il utilise la différence entre les deux valeurs. De ce fait, il peut donc également générer des séries de nombres négatifs ou décimaux. Réalisez maintenant la feuille de calcul et observez les résultats. |
